Otázka: Zodpovedá pozorované rozdelenie teoretickému (očakávanému)?
Príklad: Krvné skupiny, frekvencie farieb, výsledky kocky.
df = k − 1 | E = n × pᵢ
TYP 2 — Test nezávislosti
Test of Independence
Otázka: Existuje závislosť medzi dvoma kategorickými premennými?
Príklad: Pohlavie × voľba dopravy, vakcinácia × ochorenie.
df = (r−1)(c−1) | E = (riadkový súčet × stĺpcový súčet) / n
Plán hodiny
1
Chi-kvadrát — princíp a vzorec (20 min)
0–20 min
⌄
χ² = Σ (O − E)² / E — meria odchýlku pozorovaného od očakávaného
O = Observed (skutočné namerané hodnoty) | E = Expected (teoreticky očakávané)
χ² ≈ 0 → pozorované ≈ očakávané → žiadny rozdiel | χ² veľké → výrazný rozdiel
Používa sa pre kategorické (nominálne/ordinálne) dáta — nie pre číselné merania!
Excel: =CHISQ.TEST(pozorované_pole; očakávané_pole) → vráti p-hodnotu priamo
2
Test dobrej zhody — df=k−1 (25 min)
20–45 min
⌄
Porovnávame pozorované kategórie s teoretickým rozdelením
E = n × pᵢ — očakávaná početnosť = celkový n × teoretická pravdepodobnosť kategórie
df = k − 1 kde k = počet kategórií
Príklady: Frekvencie krvných skupín, výsledky kocky, farby M&M, farby šteniat
H₀: Pozorované rozdelenie zodpovedá teoretickému | H₁: Líšia sa
3
Test nezávislosti — kontingenčná tabuľka (25 min)
45–70 min
⌄
Testujeme závislosť medzi dvoma kategorickými premennými v kontingenčnej tabuľke r×c
E = (riadkový súčet × stĺpcový súčet) / n — pre každú bunku tabuľky
df = (r − 1) × (c − 1) kde r = počet riadkov, c = počet stĺpcov
H₀: Premenné sú NEZÁVISLÉ | H₁: Existuje závislosť
Excel: =CHISQ.TEST(oblasť_O; oblasť_E) — obe oblasti musia mať rovnaký rozmer!
4
Podmienky, Cramérovo V, Fisherov test (10 min)
70–80 min
⌄
Podmienka E ≥ 5 vo VŠETKÝCH bunkách! Ak nie → zlúč kategórie alebo Fisherov presný test
Cramérovo V = √(χ² / (n × min(r−1, c−1))) — sila závislosť (0=žiadna, 1=úplná)
V ≈ 0,1 malá | V ≈ 0,3 stredná | V ≈ 0,5 veľká závislosť
Fisherov presný test: pre malé výbery (n<20) alebo E<5 v niektorej bunke
χ² test funguje len pri nezávislých pozorovaniach — každý subjekt iba raz!
5
Test — preskúšanie (20 min)
100–120 min
⌄
5 Pravda/Nepravda + 5 výber zo 4 = 100 bodov, hodnotenie A–FX
Zn.
%
Hodnotenie
Zn.
%
Hodnotenie
A
90–100
Výborne
D
60–69
Uspokojivo
B
80–89
Veľmi dobre
E
50–59
Dostatočne
C
70–79
Dobre
FX
<50
Nedostatočne
Všetky vzorce a Excel funkcie — prehľad
── CHI-KVADRÁT VZOREC ──────────────────────────────────
χ² = Σ (O − E)² / E
── STUPNE VOĽNOSTI ─────────────────────────────────────
Test dobrej zhody: df = k − 1 k = počet kategórií
Test nezávislosti: df = (r−1) × (c−1) r = riadky, c = stĺpce── OČAKÁVANÉ HODNOTY E ─────────────────────────────────
Test dobrej zhody: E = n × pᵢ pᵢ = teoretická pravdepodobnosť
Test nezávislosti: E = (R × C) / n R=riadkový, C=stĺpcový súčet, n=celkový── EXCEL FUNKCIE ───────────────────────────────────────
=CHISQ.TEST(O_rozsah; E_rozsah) p-hodnota χ² testu
=CHISQ.DIST.RT(χ²; df) p-hodnota z χ² hodnoty a df
=CHISQ.INV.RT(α; df) kritická hodnota χ²── CRAMÉROVO V (veľkosť závislostiI) ───────────────────
V = √(χ² / (n × min(r−1, c−1)))
V ≈ 0,1 malá | V ≈ 0,3 stredná | V ≈ 0,5 veľká závislosť
── ROZHODNUTIE ─────────────────────────────────────────
p < 0,05 → ZAMIETAME H₀ (štatisticky významný rozdiel/závislosť)
p ≥ 0,05 → NEZAMIETAME H₀
ALEBO: χ² > χ²_krit → ZAMIETAME H₀
1. Chi-kvadrát — princíp a vzorec
Vzorec χ² = Σ (O − E)² / E
O = pozorovaná početnosť (skutočné dáta)
E = očakávaná početnosť (podľa H₀)
Sčítame cez všetky kategórie / bunky tabuľky
χ² ≈ 0 → pozorované ≈ očakávané | χ² veľké → výrazná odchýlka od H₀
⚠️ Chi-kvadrát test funguje len pre kategorické dáta (nominálne alebo ordinálne). Nie pre číselné merania (výška, hmotnosť, teplota) — na tie slúžia t-test, ANOVA!
2. Podmienky použitia χ² testu
1
Kategorické dáta
Nominálne alebo ordinálne premenné (nie číselné merania)
2
Nezávislé pozorovania
Každý subjekt zahrnutý iba raz — žiadne opakované merania
3
E ≥ 5 vo VŠETKÝCH bunkách!
Ak E < 5 → zlúč kategórie alebo Fisherov presný test
4
Dostatočný n ≥ 20
Celkový počet pozorovaní aspoň 20–25
3. Test dobrej zhody — 5 krokov
Krok
Akcia
Excel
1. H₀/H₁
H₀: rozdelenie zodpovedá teoretickému | H₁: líšia sa
—
2. E = n×pᵢ
Pre každú kategóriu: E = celkový n × teoretická p
=B$1*pᵢ
3. χ²
χ² = Σ (O−E)²/E cez všetky kategórie
=SUM((O-E)^2/E)
4. df, p
df = k−1 | p = =CHISQ.TEST(O;E) alebo CHISQ.DIST.RT(χ²,df)
=CHISQ.TEST()
5. Záver
p < 0,05 → zamietame H₀ | p ≥ 0,05 → nezamietame
—
4. Test nezávislosti — kontingenčná tabuľka
Očakávané hodnoty E pre kontingenčnú tabuľku
E(i,j) = (súčet riadka i × súčet stĺpca j) / celkový n
Excel vzorec: =($riadkový_súčet * $stĺpcový_súčet) / $celkový_n
Absolutné adresy ($) zaistia správne kopírovanie vzorca!
💡 Postup v Exceli: (1) Vytvor tabuľku O (pozorované). (2) Vypočítaj tabuľku E vzorcom =($C6*D$5)/$G$6 — riadkový súčet × stĺpcový súčet / celkový n. (3) =CHISQ.TEST(O_oblasť; E_oblasť) → p-hodnota. (4) Porovnaj p s α=0,05.
5. Cramérovo V — veľkosť závislostiI
Cramérovo V = √(χ² / (n × min(r−1, c−1)))
Meria SILU závislostiI (0 = žiadna, 1 = úplná).
V ≈ 0,1 → malá závislosť | V ≈ 0,3 → stredná | V ≈ 0,5+ → veľká
Na rozdiel od p-hodnoty nezávisí od veľkosti výberu n!
💡 χ² test povie ČI závislosť existuje (p-hodnota). Cramérovo V povie AKO SILNÁ závislosť je — analogia Cohenovho d pre t-test alebo η² pre ANOVA.
6. Fisherov presný test — alternatíva
Situácia
Odporúčaný test
Všetky E ≥ 5, n ≥ 20
χ² test — štandardná voľba
Niektoré E < 5, tabuľka 2×2
Yatesova korekcia alebo Fisherov presný test
n < 20 alebo veľa E < 5
Fisherov presný test (nie je v Excel, použiť R/SPSS)
Tabuľka väčšia ako 2×2, E < 5
Zlúčiť kategórie → skontrolovať E ≥ 5
Vizualizácia chi-kvadrát rozdelenia, porovnania O vs E, kontingenčných tabuliek a Craméroveho V.
Graf 1 — Chi-kvadrát rozdelenie pre rôzne df: tvar, kritická hodnota (α=0,05) a zamietacia oblasť
df=1 (tabuľka 2×2)
df=4 (tabuľka 3×3)
df=5 (kocka, 6 strán)
Kritická hodnota α=0,05
Graf 2 — Test dobrej zhody: Férová kocka? Porovnanie pozorovaných (O) a očakávaných (E) hodnôt
Pozorované O
Očakávané E = 20 (férová kocka)
χ²=2,20, df=5, p=0,821 → Kocka je férová (nezamietame H₀)
Graf 3 — Test dobrej zhody: Farby M&M — Pozorované vs. Deklarované rozdelenie (n=200)
Pozorované
Deklarované (E)
χ²=2,87, df=5, p=0,721 → Rozdelenie zodpovedá deklarovanému
Graf 4 — Test nezávislosti: Vek × Šport (3×3). χ²=35,88, df=4, p<0,001 *** — SILNÁ závislosť
Futbal
Tenis
Plávanie
Cramérovo V=0,245 → stredná závislosť
Graf 5 — Vakcinácia × Ochorenie koní (n=150): O vs E + príspevky (O−E)²/E k χ²=42,86
Pozorované O
Očakávané E
χ²=42,86, df=1, p<0,001 *** | Vakcinácia VÝRAZNE znižuje ochorenie
Všetky príklady priamo z priložených UVLF cvičení (chi_kvadrat_cvicenia.xlsx, CHITEST.xlsx, Chi_kvadrat_test_UVLF.pptx). Excel funkcie CHISQ.TEST, CHISQ.DIST.RT, CHISQ.INV.RT.
📝 10 otázok⏱ 20 minút🎯 Každá = 10 bodov🎓 FX < 50 %
0 / 10 zodpovedaných
Doplňujúce materiály
⚠️ Najčastejšie chyby pri χ² teste
E < 5 ignorované: Pred spustením CHISQ.TEST vždy skontrolovať každú bunku E. Ak E<5, zlúčiť kategórie alebo použiť Fisherov test.
Nesprávna E pre test nezávislosti: E = (riadkový súčet × stĺpcový súčet) / n. Absolútne adresy $ zaistia správne kopírovanie vzorca v Exceli!
Zámennosť typov testu: Test dobrej zhody (df=k−1) vs. test nezávislosti (df=(r−1)(c−1)). Iné df → iné kritické hodnoty!
CHISQ.TEST vs. CHISQ.DIST.RT: CHISQ.TEST(O;E) vráti p-hodnotu priamo. CHISQ.DIST.RT(χ², df) vráti p z manuálne vypočítaného χ². Obe musia dávať rovnaký výsledok!
Opačné poradie argumentov: =CHISQ.TEST(O_oblasť; E_oblasť) — NAJPRV pozorované, potom očakávané. Opačné poradie dá rovnaký výsledok (symetria), ale správny zvyk zachovaj.
Záver "závislosť spôsobuje": χ² test odhalí štatistickú závislosť, nie kauzalitu. Ako korelácia ≠ kauzalita, závislosť v kontingenčnej tabuľke ≠ príčinnosť!
💻 Kompletné Excel funkcie pre χ² test
Funkcia
Čo vypočíta
Poznámka
=CHISQ.TEST(O;E)
p-hodnota χ² testu
Najrýchlejší spôsob
=CHISQ.DIST.RT(χ²;df)
p-hodnota z χ² a df
Keď máš manuálne χ²
=CHISQ.INV.RT(α;df)
Kritická hodnota χ²
=CHISQ.INV.RT(0,05;df)
=SUM((O-E)^2/E)
Manuálny výpočet χ²
Overenie CHISQ.TEST
=(R*C)/$n
Očakávaná hodnota E (nezávislosť)
$ pre absolútne adresy!
=SQRT(χ²/(n*MIN(r-1,c-1)))
Cramérovo V
Sila závislostiI
🧠 Kontrolné otázky
Aký je rozdiel medzi testom dobrej zhody a testom nezávislosti?
Prečo je podmienka E ≥ 5 dôležitá? Čo robíme ak nie je splnená?
df = ? pre tabuľku 3×4 (test nezávislosti). A pre test dobrej zhody s 5 kategóriami?
χ²=2,87, df=5. Je výsledok štatisticky významný na α=0,05? (χ²_krit=11,07)
Cramérovo V=0,08. Ako interpretujete silu závislostiI?
