⏱120:00
PREDNÁŠKA · MATEMATIKA V PRAXI · ŠPORTOVÝ MANAŽMENT · 2 × 120 MIN

Matematika v športovom manažmente

Od percent na tribúne cez štatistiku hráčov až po úver na nový štadión — kde všade manažér klubu počíta

⏱ 2 × 120 min📊 Blok 1: čísla, štatistika, náhoda, priestor💶 Blok 2: funkcie, optimum, financie📐 32 príkladov z klubovej praxe📝 Test 20 otázok📧 Odoslanie testu v PDF

Plán prednášky

🏟️ Jeden deň manažéra klubu: ráno kontroluje, koľko percent štadióna sa zaplnilo. Na porade ukazuje priemernú návštevnosť a štatistiku hráčov. Poobede rieši rozpis zápasov, cenu permanentiek, ponuku sponzora a splátku úveru za nové tribúny. Každá z týchto úloh je matematika. Dnes si ukážeme ktorá.
%
Percentá a pomery

obsadenosť, zľavy, DPH, rozpočet, úspešnosť

📊
Štatistika

priemer, medián, rozptyl, výkonnosť hráčov

🎲
Kombinatorika a pravdepodobnosť

rozpis ligy, zostavy, stávkové kurzy, bonusy

📐
Geometria

ihrisko, trávnik, plot, plány štadióna

📈
Funkcie a rovnice

bod zvratu, tarify, predaj lístkov

🎯
Optimum

najlepšia cena vstupenky, najväčší zisk

🏦
Finančná matematika

rast, úroky, inflácia, odpisy, úver

🧮
Matice a hraničné hodnoty

tabuľky tržieb, cena ďalšieho kusu

Blok 1 / 2Čísla v klube: percentá, štatistika, náhoda, priestor⏱ 120 min
1Úvod — kde všade manažér počíta5 min⌄
  • Mapa matematiky v klube
2Percentá, percentuálne body, DPH, pomery25 min⌄
  • Obsadenosť štadióna, zdraženie a zľava, cena s DPH a bez DPH
  • Percentá vs. percentuálne body, rozdelenie rozpočtu v pomere, body v lige
3Štatistika: priemer, medián, rozptyl25 min⌄
  • Návštevnosť a „derby efekt“, vážený priemer ceny lístka
  • Ktorý útočník je spoľahlivejší? Smerodajná odchýlka
4Kombinatorika a pravdepodobnosť25 min⌄
  • Koľko zápasov má liga, koľko zostáv vieme postaviť
  • Stávkové kurzy, séria penált, očakávaná hodnota sponzorského bonusu
5Geometria: ihrisko a štadión15 min⌄
  • Plocha trávnika, dĺžka plotu, stredový kruh, mierka plánu
6Príklady na prepočítanie25 min⌄
  • 16 príkladov s riešeniami
Blok 2 / 2Peniaze v klube: funkcie, optimum, financie⏱ 120 min
1Lineárna funkcia a sústavy rovníc25 min⌄
  • Bod zvratu turnaja, porovnanie taríf fitness centra
  • Koľko sa predalo lístkov pre dospelých a deti? Body v tabuľke
2Kvadratická funkcia — najlepšia cena a najväčší zisk20 min⌄
  • Vrchol paraboly, interaktívny posuvník ceny vstupenky
3Finančná matematika25 min⌄
  • Exponenciálny rast fanúšikov, logaritmus a pravidlo 72
  • Zložené úročenie, inflácia, odpisy, úver na štadión (anuita)
4Matice a hraničné náklady10 min⌄
  • Tabuľka predaja × ceny = tržba, cena ďalšieho dresu
5Príklady na prepočítanie25 min⌄
  • 16 príkladov s riešeniami
6Záver, test a odoslanie v PDF15 min⌄
  • Test 20 otázok — jedno spoločné hodnotenie A–FX

Klasifikácia

ZnámkaPercentoSlovné hodnotenie
A90 – 100 %Výborne
B80 – 89 %Veľmi dobre
C70 – 79 %Dobre
D60 – 69 %Uspokojivo
E50 – 59 %Dostatočne
FX0 – 49 %Nedostatočne
Blok 1 / 2Čísla v klube⏱ 120 min

1. Percentá — najčastejšia matematika v klube

percento = časťcelok · 100 %časť = celok · percento100
🏟️ Obsadenosť štadióna
  • Kapacita 5 000 miest, prišlo 4 000 divákov.
  • 4 0005 000 · 100 % = 80 %
Štadión bol zaplnený na 80 %. Sponzor sa pýta práve na toto číslo.
📈 Zdraženie vstupenky
  • Lístok stál 12 €, teraz stojí 15 €. Zmena = 3 €.
  • Percentuálna zmena: 15 − 1212 · 100 % = 25 %
Vstupenka zdražela o 25 %. Pozor — vždy delíme pôvodnou hodnotou.
❌ Častá pasca: dres za 100 € zdražieme o 20 % na 120 € a potom zlacníme o 20 %. Výsledok nie je 100 €, ale 120 · 0,8 = 96 €. Druhé percento sa počíta z inej (vyššej) sumy.

Zdraženie a zľava cez koeficient

SituáciaKoeficientPríklad
zvýšenie o 20 %· 1,20permanentka 150 € → 180 €
zľava 25 %· 0,75dres 80 € → 60 €
pripočítanie DPH 23 %· 1,23lístok 10 € → 12,30 €
odpočítanie DPH 23 %: 1,23lístok 12,30 € → 10 €
❌ DPH sa neodpočíta tak, že odrátame 23 %! 12,30 € · 0,77 = 9,47 € — to je chyba. Správne: 12,30 : 1,23 = 10 €.
ℹ Na Slovensku je od 1. 1. 2025 základná sadzba DPH 23 %. Pri výpočtoch v praxi si vždy overte aktuálnu sadzbu.

2. Percento alebo percentuálny bod?

🏀 Úspešnosť trestných hodov tímu stúpla zo 40 % na 50 %. Novinár napíše „zlepšenie o 10 %“. Má pravdu?
Ako to povedaťVýpočetSprávne?
o 10 percentuálnych bodov50 − 40 = 10✅ áno
o 25 percent(50 − 40) : 40 · 100 = 25 %✅ áno
o 10 percent—❌ nie
💡 Keď porovnávame dve percentá, rozdiel je v percentuálnych bodoch (p. b.). Percento by znamenalo, o koľko sa zmenila samotná úspešnosť vzhľadom na pôvodnú.

3. Pomery — delenie rozpočtu

💶 Rozpočet klubu 500 000 € v pomere 5 : 3 : 2 (A-tím : mládež : marketing)
  1. počet dielov: 5 + 3 + 2 = 10
  2. 1 diel = 500 000 : 10 = 50 000 €
  3. A-tím 5 · 50 000 = 250 000 € · mládež 150 000 € · marketing 100 000 €
Kontrola: 250 000 + 150 000 + 100 000 = 500 000 € ✓

4. Body v tabuľke a ukazovatele „na zápas“

⚽ Výhra 3 body, remíza 1 bod, prehra 0. Tím má bilanciu 12 V – 5 R – 3 P.
  1. body: 12 · 3 + 5 · 1 = 41
  2. zápasy: 12 + 5 + 3 = 20
  3. body na zápas: 41 : 20 = 2,05
  4. úspešnosť: 41 z možných 60 bodov = 68,3 %
Ukazovateľ „na zápas“ umožní porovnať tímy, ktoré odohrali rôzny počet zápasov.
Blok 1 / 2Čísla v klube⏱ 120 min

5. Priemer alebo medián? Návštevnosť a „derby efekt“

📊 Návštevnosť 8 domácich zápasov: 2 100, 2 400, 1 900, 3 500, 2 200, 2 000, 2 300, 7 600 (posledný bol derby). Manažér chce sponzorovi povedať, koľko divákov „bežne“ chodí.

priemer 3 000   medián 2 250

Aritmetický priemer
  • súčet: 24 000 divákov, počet zápasov: 8
  • priemer = 24 000 : 8 = 3 000
Medián (stredná hodnota)
  1. zoradíme: 1 900, 2 000, 2 100, 2 200, 2 300, 2 400, 3 500, 7 600
  2. párny počet → priemer dvoch stredných: (2 200 + 2 300) : 2 = 2 250
Až 7 z 8 zápasov malo menej ako 3 000 divákov! Jedno derby „vytiahlo“ priemer nahor. Medián 2 250 lepšie vystihuje bežný zápas.
✓ Pravidlo: ak sú v dátach extrémy (derby, hviezdny plat), používajte medián. Bez extrémov je priemer v poriadku.

6. Vážený priemer — priemerná cena lístka

🎟️ Predaj: 1 500 lístkov po 10 € a 500 lístkov VIP po 20 €
  • ❌ obyčajný priemer (10 + 20) : 2 = 15 € — nesprávne, VIP lístkov bolo menej
  • ✅ vážený priemer: 1 500 · 10 + 500 · 201 500 + 500 = 25 0002 000 = 12,50 €
Priemerne sme za jeden lístok utŕžili 12,50 €.

7. Rozptyl a smerodajná odchýlka — kto je spoľahlivejší?

⚽ Dvaja útočníci, 5 zápasov. Obaja dali 10 gólov, priemer 2 góly na zápas. Ktorého kúpite?
HráčGóly v 5 zápasochPriemerSmerodajná odchýlka
Adam2, 2, 2, 2, 220
Boris0, 5, 0, 5, 02≈ 2,45
✅ Postup výpočtu smerodajnej odchýlky (Boris)
  1. Priemer: x̄ = 2.
  2. Odchýlky od priemeru: −2, 3, −2, 3, −2.
  3. Umocníme: 4, 9, 4, 9, 4 → súčet 30.
  4. Rozptyl: 30 : 5 = 6.
  5. Smerodajná odchýlka: √6 ≈ 2,45.
s = √(x₁ − x̄)² + (x₂ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²nčím menšia odchýlka, tým stabilnejší výkon
💡 Adam je stabilný — každý zápas jeden istý výkon. Boris je nevyspytateľný. Pre dlhú sezónu manažér obvykle uprednostní Adama, do jedného rozhodujúceho zápasu môže riskovať s Borisom.
💡 Vedeli ste? Prístup „Moneyball“ (Oakland Athletics, bejzbal, okolo roku 2002) ukázal, že klub s malým rozpočtom vie konkurovať bohatým, ak sa rozhoduje podľa štatistiky, a nie podľa dojmu skautov.
Blok 1 / 2Čísla v klube⏱ 120 min

8. Kombinatorika — koľko zápasov, koľko zostáv?

Rozpis ligy „každý s každým“

počet zápasov = n · (n − 1)2jedenkrát každý s každým · systém doma–vonku: n · (n − 1)
📅 Liga s 12 tímami
  • každý tím hrá s 11 súpermi: 12 · 11 = 132, ale každý zápas sme započítali dvakrát → 132 : 2 = 66 zápasov
  • doma aj vonku: 132 zápasov, každý tím odohrá 22 zápasov
Manažér z toho plánuje počet kôl, ceny permanentiek a prenájom štadióna.
🏆 Vyraďovací pavúk so 16 tímami
  • každý zápas vyradí jeden tím; víťaz musí ostať sám → treba vyradiť 15 tímov
  • počet zápasov = n − 1 = 15 (8 + 4 + 2 + 1)

Zostavy, poradia, výbery

OtázkaTypVýpočetVýsledok
V akom poradí môže kopať penalty 5 hráčov?permutácie (záleží na poradí, všetci)5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1120
Z 12 hráčov vyberáme kapitána a zástupcuvariácie (záleží na poradí)12 · 11132
Z 5 útočníkov vyberáme 3 do zostavykombinácie (nezáleží na poradí)5 · 4 · 33 · 2 · 110
💡 Rozhodovacia otázka: Záleží na poradí? Kapitán a zástupca sú rôzne funkcie → áno (variácie). Traja útočníci na ihrisku sú rovnocenní → nie (kombinácie).

9. Pravdepodobnosť — šanca v číslach

P = počet priaznivých možnostípočet všetkých možnostívždy číslo od 0 (nemožné) po 1 (isté)
🥅 Séria penált
  • exekútor premieňa 75 % penált (P = 0,75)
  • premení 2 za sebou: 0,75 · 0,75 = 0,5625 → 56,25 %
  • premení 3 za sebou: 0,75³ ≈ 0,42 → 42 %
Pri nezávislých udalostiach pravdepodobnosti násobíme.
🎰 Čo prezrádza stávkový kurz
  • kurz na výhru tímu 2,50 → implicitná pravdepodobnosť = 12,50 = 0,40 = 40 %
  • kurz 1,25 → 80 % (veľký favorit)
Súčet takto vypočítaných pravdepodobností všetkých výsledkov je vždy o trochu viac ako 100 % — rozdiel je zisk stávkovej kancelárie (marža).

10. Očakávaná hodnota — ako oceniť sponzorský bonus

🤝 Sponzor ponúka: 20 000 €, ak klub postúpi (šanca 25 %), a 5 000 €, ak sa udrží v strede tabuľky (šanca 60 %). Inak nič. Koľko môže manažér rozumne započítať do rozpočtu?
  1. E = 20 000 · 0,25 + 5 000 · 0,60 + 0 · 0,15
  2. E = 5 000 + 3 000 + 0 = 8 000 €
Do rozpočtu sa rozumne plánuje 8 000 € — nie optimistických 20 000 €.
E = hodnota₁ · P₁ + hodnota₂ · P₂ + … očakávaná (priemerná) hodnota pri mnohonásobnom opakovaní
Blok 1 / 2Čísla v klube⏱ 120 min

11. Ihrisko a štadión v metroch štvorcových

ÚtvarObsahObvod
obdĺžnik a × bS = a · bo = 2(a + b)
kruh s polomerom rS = π · r²o = 2 · π · r
⚽ Nový trávnik na futbalovom ihrisku 105 m × 68 m
  1. plocha: 105 · 68 = 7 140 m²
  2. trávnik stojí 8 €/m²: 7 140 · 8 = 57 120 €
  3. plot okolo ihriska: 2 · (105 + 68) = 346 m
Manažér vie hneď na porade povedať: trávnik ≈ 57 tisíc €, plot 346 m.
⭕ Stredový kruh (polomer 9,15 m)
  • plocha: π · 9,15² ≈ 3,14 · 83,72 ≈ 263 m²
  • obvod (dĺžka čiary): 2 · π · 9,15 ≈ 57,5 m
🗺️ Mierka plánu 1 : 500
  • 1 cm na pláne = 500 cm = 5 m v skutočnosti
  • ihrisko 105 m × 68 m bude na pláne 21 cm × 13,6 cm
🏀 Basketbalová palubovka 28 m × 15 m
  • plocha 420 m², lakovanie 12 €/m² → 5 040 €
💡 Vedeli ste? Pravidlá futbalu nepredpisujú jeden presný rozmer. Pre medzinárodné zápasy povoľujú dĺžku 100–110 m a šírku 64–75 m. Rozmer 105 × 68 m sa odporúča pre najvyššie súťaže.
Blok 2 / 2Peniaze v klube⏱ 120 min

12. Lineárna funkcia — bod zvratu turnaja

🏆 Klub organizuje mládežnícky turnaj. Pevné náklady (rozhodcovia, ihrisko, poháre) sú 2 000 €, na každého účastníka pripadne ďalších 15 € (strava, tričko). Štartovné je 40 €. Koľko detí musí prísť, aby klub neprerobil?
FunkciaPredpisVýznam
nákladyN(x) = 2 000 + 15xpevné + variabilné
príjemP(x) = 40xštartovné × počet
ziskZ(x) = P(x) − N(x) = 25x − 2 000čo zostane klubu
Bod zvratu: príjem = náklady
  1. 40x = 2 000 + 15x
  2. 25x = 2 000
  3. x = 80
Pri 80 deťoch je klub na nule. Každé ďalšie dieťa prinesie 25 € zisku: pri 120 deťoch Z = 25 · 120 − 2 000 = 1 000 €.

príjem P(x) = 40x   náklady N(x) = 2 000 + 15x

💡 Vľavo od bodu zvratu je čiara nákladov vyššie → strata. Vpravo je vyššie čiara príjmov → zisk.

Ktorá tarifa sa oplatí? (fitness centrum)

  • Tarifa A: paušál 30 € mesačne bez obmedzenia
  • Tarifa B: 10 € mesačne + 4 € za každý vstup → 10 + 4x
  • rovnako drahé: 10 + 4x = 30 → x = 5 vstupov
Kto chodí menej ako 5-krát za mesiac, ušetrí s tarifou B. Kto chodí častejšie, s tarifou A. Manažér tak navrhuje cenník pre rôzne skupiny klientov.

13. Sústava dvoch rovníc

🎟️ Na zápas sa predalo 2 500 lístkov. Dospelí platili 12 €, deti 6 €, tržba bola 25 200 €. Koľko prišlo dospelých a koľko detí?
  1. x = dospelí, y = deti
  2. x + y = 2 500   (počet lístkov)
  3. 12x + 6y = 25 200   (tržba)
  4. z prvej: y = 2 500 − x → dosadíme: 12x + 6(2 500 − x) = 25 200
  5. 12x + 15 000 − 6x = 25 200 → 6x = 10 200 → x = 1 700
  6. y = 2 500 − 1 700 = 800
Prišlo 1 700 dospelých a 800 detí. Kontrola: 1 700 · 12 + 800 · 6 = 20 400 + 4 800 = 25 200 € ✓
⚽ Spätný výpočet bilancie
  • tím má 41 bodov z 20 zápasov a prehral 3-krát → V + R = 17, 3V + R = 41
  • odčítame: 2V = 24 → V = 12, R = 5
Bilancia je 12 výhier a 5 remíz.
✅ Postup pri slovnej úlohe so sústavou
  1. Označte neznáme (x, y) a napíšte, čo znamenajú.
  2. Z každej informácie zostavte jednu rovnicu.
  3. Z jednej rovnice vyjadrite neznámu a dosaďte do druhej.
  4. Vždy urobte kontrolu dosadením do zadania.
Blok 2 / 2Peniaze v klube⏱ 120 min

14. Kvadratická funkcia — akú cenu dať za vstupenku?

🎟️ Prieskum ukázal: pri cene c € príde 5 000 − 200c divákov. Drahý lístok = málo ľudí, lacný lístok = málo peňazí z každého. Kde je zlatý stred?
Cena cDivákovTržba = cena × diváci
5 €4 00020 000 €
10 €3 00030 000 €
12,50 €2 50031 250 € ⭐
15 €2 00030 000 €
20 €1 00020 000 €
Výpočet cez vrchol paraboly
  1. tržba: T(c) = c · (5 000 − 200c) = −200c² + 5 000c
  2. je to parabola y = ac² + bc s a = −200, b = 5 000; a < 0 → parabola je „otočená dole“ a má maximum
  3. vrchol: c = −b2a = −5 0002 · (−200) = 12,5
  4. divákov 2 500, tržba 12,5 · 2 500 = 31 250 €
Najvyššiu tržbu prinesie cena 12,50 € — 2 500 divákov, 31 250 €.
📘 Kto pozná derivácie (Matematika 5): rovnaký výsledok dá T′(c) = 5 000 − 400c = 0 → c = 12,5.

Vyskúšajte sami — hýbte cenou

Diváci · tržba

15. Najväčší zisk — letný kemp

⛺ Zisk pri x deťoch: Z(x) = −0,5x² + 60x − 800 €
  1. a = −0,5, b = 60 → x = −602 · (−0,5) = 60
  2. Z(60) = −0,5 · 3 600 + 3 600 − 800 = 1 000 €
Najväčší zisk 1 000 € pri 60 deťoch. Pri viac deťoch treba ďalších trénerov a ihriská, zisk klesá.
✅ Recept na optimum
  1. Napíšte funkciu toho, čo chcete maximalizovať (tržba = cena × počet, zisk = príjem − náklady).
  2. Upravte ju na tvar ax² + bx + c.
  3. Vrchol: x = −b / (2a). Ak a < 0, je to maximum.
  4. Dosaďte späť a odpoveď povedzte v eurách a ľuďoch.
Blok 2 / 2Peniaze v klube⏱ 120 min

16. Exponenciálny rast — fanúšikovia na sociálnych sieťach

📱 Klub má 20 000 sledovateľov a vďaka dobrej kampani rastie o 10 % mesačne. Koľko ich bude o rok?
Kn = K₀ · (1 + p)ⁿK₀ začiatočná hodnota · p rast za obdobie (10 % = 0,10) · n počet období
  • K₁₂ = 20 000 · 1,1¹² ≈ 20 000 · 3,138 ≈ 62 769
  • pre porovnanie lineárny rast „+2 000 mesačne“: 20 000 + 12 · 2 000 = 44 000
Percentuálny rast sa „sám zrýchľuje“ — každý mesiac rastieme z väčšieho čísla.

exponenciálny rast +10 % mesačne   lineárny rast +2 000 mesačne

Kedy sa počet zdvojnásobí? — logaritmus

  • 1,1ⁿ = 2 → n = ln 2ln 1,1 ≈ 0,6930,0953 ≈ 7,3 → po 8 mesiacoch
  • rýchly odhad — pravidlo 72: 72 : 10 ≈ 7,2 mesiaca

17. Zložené úročenie a inflácia

🏦 Rezervný fond klubu 50 000 € na 3 % ročne, 5 rokov
  • 50 000 · 1,03⁵ ≈ 50 000 · 1,1593 ≈ 57 964 €
  • úrok spolu ≈ 7 964 € (pri jednoduchom úročení by to bolo len 7 500 €)
📉 Inflácia a cena vstupenky
  • lístok 10 €, inflácia 4 % ročne, 5 rokov: 10 · 1,04⁵ ≈ 12,17 €
Ak klub 5 rokov nezdraží, reálne zarába za lístok menej. Zdraženie z 10 € na 12 € by bolo len udržanie hodnoty, nie zisk.

18. Odpisy — koľko má majetok hodnotu

Klubový autobus 120 000 €Lineárne (8 rokov)Degresívne (−15 % ročne)
ročný odpis120 000 : 8 = 15 000 € každý rok15 % zo zostatkovej hodnoty
hodnota po 4 rokoch120 000 − 4 · 15 000 = 60 000 €120 000 · 0,85⁴ ≈ 62 641 €
matematikalineárna funkcia (aritmetická postupnosť)exponenciálna funkcia (geometrická postupnosť)

19. Úver na nové tribúny — anuitná splátka

🏗️ Klub si berie úver 1 000 000 € na 10 rokov s úrokom 5 % ročne. Aká bude ročná splátka?
a = U · i1 − (1 + i)⁻ⁿU výška úveru · i úrok za obdobie · n počet splátok
  1. (1,05)⁻¹⁰ ≈ 0,6139 → 1 − 0,6139 = 0,3861
  2. a = 1 000 000 · 0,05 : 0,3861 ≈ 129 505 € ročne
  3. zaplatíme spolu 10 · 129 505 ≈ 1 295 046 € → úroky ≈ 295 046 €
Tribúny reálne stoja takmer 1,3 milióna €. Manažér musí mať istotu, že klub zarobí na splátku každý rok.

20. Matice — tržby za viac zápasov naraz

🧮 Predané lístky v sektoroch (VIP, hlavná tribúna, za bránkou) a ceny 20 €, 12 €, 8 €
VIPHlavnáZa bránkouTržba
1. zápas8001 200500800·20 + 1 200·12 + 500·8 = 34 400 €
2. zápas9001 300600900·20 + 1 300·12 + 600·8 = 38 400 €
Matematicky je to násobenie matice predajov 800 1200 500
900 1300 600 vektorom cien 20
12
8. Presne takto počíta tabuľkový procesor (Excel) tržby za celú sezónu naraz.

21. Hraničné náklady — koľko stojí ďalší dres?

👕 Náklady fan shopu: N(x) = 0,02x² + 15x + 500 €
  • náklady na 100 dresov: N(100) = 200 + 1 500 + 500 = 2 200 €
  • náklady na 101 dresov: N(101) = 204,02 + 1 515 + 500 = 2 219,02 €
  • 101. dres stojí 19,02 € (deriváciou: N′(x) = 0,04x + 15 → N′(100) = 19 €)
Ak dres predávame za 40 €, oplatí sa vyrábať, kým ďalší kus stojí menej ako 40 €: 0,04x + 15 = 40 → do 625 kusov.
✓ Zhrnutie bloku 2: lineárna funkcia → bod zvratu · sústava → spätný výpočet · parabola → optimum · exponenciála → rast, úroky, inflácia · anuita → úver · matica → tabuľka tržieb.

Príklady na prepočítanie

Postup: skúste sami → odkryte riešenie → porovnajte. Pri každom príklade si najprv prečítajte 💡.

Blok 1 / 2Čísla v klube⏱ 120 min
A. Percentá a pomery
Príklad 1Ľahký🏟️ obsadenosť
Na štadión s kapacitou 4 500 miest prišlo 3 600 divákov. Aká bola obsadenosť?
💡 časť : celok · 100 %.
  1. 3 600 : 4 500 = 0,8
Obsadenosť 80 %.
Príklad 2Ľahký🎫 permanentky
Permanentka zdražela zo 150 € na 180 €. O koľko percent?
💡 Delíme pôvodnou cenou.
  1. (180 − 150) : 150 = 0,2
Zdraženie o 20 %.
Príklad 3Stredný🧾 DPH
Lístok stojí 18,45 € vrátane DPH 23 %. Aká je cena bez DPH a koľko je DPH?
💡 Cenu s DPH delíme 1,23 — neodrátavame 23 %.
  1. 18,45 : 1,23 = 15 €
  2. DPH = 18,45 − 15 = 3,45 €
Bez DPH 15 €, DPH 3,45 €.
Príklad 4Stredný👕 fan shop
Dres stojí 80 €. Najprv zdražie o 10 %, potom je výpredaj so zľavou 25 %. Aká je konečná cena?
💡 Koeficienty násobíme za sebou.
  1. 80 · 1,10 = 88 €
  2. 88 · 0,75 = 66 €
Konečná cena 66 € (celkovo −17,5 %).
Príklad 5Stredný🏀 úspešnosť
Úspešnosť trestných hodov stúpla zo 60 % na 75 %. Vyjadrite zmenu v percentuálnych bodoch aj v percentách.
💡 p. b. = rozdiel, % = rozdiel : pôvodná hodnota.
  1. 75 − 60 = 15 p. b.
  2. 15 : 60 = 0,25 → 25 %
+15 percentuálnych bodov = +25 %.
Príklad 6Ľahký💶 rozpočet
Rozpočet 300 000 € rozdeľte v pomere 6 : 3 : 1 (A-tím : mládež : správa).
💡 Najprv hodnota jedného dielu.
  1. 6 + 3 + 1 = 10 dielov, 1 diel = 30 000 €
180 000 € · 90 000 € · 30 000 €.
Príklad 7Ľahký⚽ tabuľka
Tím má bilanciu 15 V – 6 R – 9 P (3 body za výhru, 1 za remízu). Koľko má bodov a bodov na zápas?
💡 Zápasy = V + R + P.
  1. 15 · 3 + 6 = 51 bodov
  2. 30 zápasov → 51 : 30 = 1,7
51 bodov, 1,7 bodu na zápas.
B. Štatistika
Príklad 8Stredný💼 platy
Mesačné platy v klube (€): 1 200, 1 300, 1 400, 1 500, 1 600, 1 800, 9 000. Vypočítajte priemer a medián. Ktorý údaj lepšie vystihuje „bežný plat“?
💡 Hviezdny plat 9 000 € je extrém.
  1. súčet 17 800 € : 7 ≈ 2 542,86 €
  2. medián (4. hodnota zo 7): 1 500 €
Priemer ≈ 2 543 €, medián 1 500 € — bežný plat vystihuje medián.
Príklad 9Stredný🎟️ vážený priemer
Predaj: 2 000 lístkov po 8 €, 1 000 po 14 €, 500 po 25 €. Aká je priemerná cena lístka?
💡 Celková tržba : celkový počet lístkov.
  1. 16 000 + 14 000 + 12 500 = 42 500 €
  2. 42 500 : 3 500 ≈ 12,14 €
Priemerne 12,14 € za lístok.
Príklad 10Náročný🏀 hráč
Hráč dal v troch zápasoch 10, 12 a 14 bodov. Vypočítajte priemer a smerodajnú odchýlku.
💡 Odchýlky → štvorce → priemer → odmocnina.
  1. priemer 12
  2. odchýlky −2, 0, 2 → štvorce 4, 0, 4 → súčet 8
  3. rozptyl 8 : 3 ≈ 2,67 → s ≈ 1,63
Priemer 12 bodov, s ≈ 1,63 — veľmi stabilný hráč.
C. Kombinatorika a pravdepodobnosť
Príklad 11Ľahký📅 turnaj
Skupina má 8 tímov a hrá sa každý s každým raz. Koľko je zápasov? Koľko zápasov má vyraďovací pavúk so 16 tímami?
💡 n(n − 1) : 2 a n − 1.
  1. 8 · 7 : 2 = 28
  2. 16 − 1 = 15
28 zápasov v skupine, 15 v pavúku.
Príklad 12Stredný👥 zostava
a) Z 12 hráčov volíme kapitána a zástupcu. b) Z 8 hráčov vyberáme 5 do štartovej päťky (basketbal). Koľko je možností?
💡 a) záleží na poradí, b) nezáleží.
  1. a) 12 · 11 = 132
  2. b) (8 · 7 · 6 · 5 · 4) : (5 · 4 · 3 · 2 · 1) = 6 720 : 120 = 56
a) 132, b) 56.
Príklad 13Stredný🥅 penalty
Brankár chytí 20 % penált. Aká je pravdepodobnosť, že z 3 penált nechytí ani jednu?
💡 Nechytí = 0,8; nezávislé udalosti násobíme.
  1. 0,8 · 0,8 · 0,8 = 0,512
51,2 %.
Príklad 14Stredný🤝 sponzor
Sponzor zaplatí 20 000 € pri postupe (P = 0,25) a 5 000 € pri udržaní (P = 0,6). Aká je očakávaná hodnota bonusu? A čo prezrádza kurz 4,00?
💡 E = súčet hodnota × pravdepodobnosť; kurz → 1 : kurz.
  1. 20 000 · 0,25 + 5 000 · 0,6 = 8 000 €
  2. 1 : 4 = 0,25 → 25 %
Očakávaný bonus 8 000 €; kurz 4,00 ≈ 25 % šanca.
D. Geometria
Príklad 15Ľahký⚽ trávnik
Ihrisko má 105 × 68 m. Trávnik stojí 9 €/m². Koľko stojí trávnik a aký dlhý bude plot okolo ihriska?
💡 Obsah a · b, obvod 2(a + b).
  1. 105 · 68 = 7 140 m² → 7 140 · 9 = 64 260 €
  2. 2 · (105 + 68) = 346 m
Trávnik 64 260 €, plot 346 m.
Príklad 16Stredný🗺️ plán
Na pláne v mierke 1 : 500 má nová tréningová plocha rozmery 12 cm × 8 cm. Aká je skutočná plocha a koľko stojí umelá tráva po 25 €/m²?
💡 1 cm = 5 m. Najprv rozmery, až potom plocha.
  1. 12 cm → 60 m, 8 cm → 40 m
  2. 60 · 40 = 2 400 m²
  3. 2 400 · 25 = 60 000 €
2 400 m², umelá tráva 60 000 €.
Blok 2 / 2Peniaze v klube⏱ 120 min
A. Lineárna funkcia a sústavy
Príklad 1Ľahký🏆 turnaj
N(x) = 1 500 + 20x, P(x) = 50x. Nájdite bod zvratu a zisk pri 80 účastníkoch.
💡 Bod zvratu: P = N.
  1. 50x = 1 500 + 20x → 30x = 1 500 → x = 50
  2. Z(80) = 30 · 80 − 1 500 = 900 €
Bod zvratu 50 účastníkov, pri 80 zisk 900 €.
Príklad 2Ľahký🏋️ fitness
Tarifa A: paušál 35 €. Tarifa B: 15 € + 2,50 € za vstup. Pri koľkých vstupoch sú rovnako drahé?
💡 15 + 2,5x = 35.
  1. 2,5x = 20 → x = 8
Pri 8 vstupoch; pri menej sa oplatí B.
Príklad 3Ľahký🚌 doprava
Prenájom autobusu: 300 € + 1,20 €/km. Koľko stojí cesta na zápas a späť, ak je štadión vzdialený 225 km?
💡 Tam aj späť = 450 km.
  1. 300 + 1,2 · 450 = 300 + 540
840 €.
Príklad 4Stredný🎟️ lístky
Predalo sa 3 000 lístkov — dospelí po 10 €, študenti po 6 €. Tržba bola 25 000 €. Koľko bolo dospelých a študentov?
💡 x + y = 3 000, 10x + 6y = 25 000.
  1. y = 3 000 − x → 10x + 18 000 − 6x = 25 000
  2. 4x = 7 000 → x = 1 750, y = 1 250
1 750 dospelých a 1 250 študentov.
Príklad 5Stredný⚽ bilancia
Tím má 36 bodov z 18 zápasov a prehral 4-krát. Koľko vyhral a koľko remizoval?
💡 V + R = 14, 3V + R = 36.
  1. odčítame: 2V = 22 → V = 11, R = 3
11 výhier, 3 remízy.
B. Optimum
Príklad 6Stredný🏒 hokej
Pri cene c € príde 3 000 − 100c divákov. Akú cenu nastaviť pre najvyššiu tržbu?
💡 T(c) = c · (3 000 − 100c), vrchol −b/(2a).
  1. T(c) = −100c² + 3 000c
  2. c = −3 000 : (−200) = 15 €
  3. 1 500 divákov, tržba 22 500 €
15 € → 1 500 divákov → 22 500 €.
Príklad 7Stredný⛺ kemp
Zisk kempu: Z(x) = −0,5x² + 50x − 600. Pri koľkých deťoch je zisk najväčší?
💡 a = −0,5, b = 50.
  1. x = −50 : (−1) = 50
  2. Z(50) = −1 250 + 2 500 − 600 = 650 €
50 detí, zisk 650 €.
Príklad 8Náročný🏋️ fitness
Pri mesačnom poplatku c € má fitness centrum 600 − 10c členov. Prevádzka stojí 4 000 € mesačne. Aký poplatok prinesie najväčší zisk a aký?
💡 Pevné náklady neposúvajú optimálnu cenu, len znížia zisk.
  1. Z(c) = c(600 − 10c) − 4 000 = −10c² + 600c − 4 000
  2. c = −600 : (−20) = 30 €
  3. 300 členov, Z = 9 000 − 4 000 = 5 000 €
30 € → 300 členov → zisk 5 000 € mesačne.
C. Finančná matematika
Príklad 9Stredný📱 sociálne siete
Klub má 5 000 sledovateľov a rastie o 8 % mesačne. Koľko ich bude o pol roka? Kedy sa počet zdvojnásobí?
💡 K₀ · (1 + p)ⁿ a pravidlo 72.
  1. 5 000 · 1,08⁶ ≈ 5 000 · 1,5869 ≈ 7 934
  2. ln 2 : ln 1,08 ≈ 0,693 : 0,077 ≈ 9; pravidlo 72: 72 : 8 = 9
≈ 7 934 sledovateľov; zdvojnásobenie po 9 mesiacoch.
Príklad 10Stredný🏦 rezerva
Klub uloží 80 000 € na 2,5 % ročne na 4 roky (zložené úročenie). Koľko bude mať na účte?
💡 Úrok sa každý rok pripočíta k istine.
  1. 80 000 · 1,025⁴ ≈ 80 000 · 1,1038
≈ 88 305 € (úrok ≈ 8 305 €).
Príklad 11Stredný📉 inflácia
Tréner zarába 2 000 €. Inflácia je 3 % ročne. Aký plat musí mať o 3 roky, aby nestratil kúpnu silu?
💡 Rovnaký vzorec ako pri úroku.
  1. 2 000 · 1,03³ ≈ 2 000 · 1,0927
≈ 2 185 €.
Príklad 12Stredný🚜 odpisy
Rolba na ľad stojí 90 000 €. a) Lineárne odpisy na 6 rokov — ročný odpis? b) Degresívne −20 % ročne — hodnota po 3 rokoch?
💡 Lineárne = delenie, degresívne = násobenie 0,8.
  1. a) 90 000 : 6 = 15 000 €
  2. b) 90 000 · 0,8³ = 90 000 · 0,512 = 46 080 €
a) 15 000 € ročne, b) 46 080 €.
Príklad 13Náročný🏗️ úver
Úver 200 000 € na 5 rokov, úrok 4 % ročne. Aká je ročná anuitná splátka a koľko klub zaplatí na úrokoch?
💡 a = U · i : (1 − (1 + i)⁻ⁿ).
  1. 1,04⁻⁵ ≈ 0,8219 → 1 − 0,8219 = 0,1781
  2. a = 200 000 · 0,04 : 0,1781 ≈ 44 925 €
  3. spolu 5 · 44 925 ≈ 224 627 € → úroky ≈ 24 627 €
Splátka ≈ 44 925 € ročne, úroky ≈ 24 627 €.
D. Matice a hraničné náklady
Príklad 14Ľahký🧮 tržby
V sektoroch A, B, C sa predalo 1 000, 600 a 300 lístkov. Ceny sú 10 €, 15 € a 25 €. Aká je tržba?
💡 Riadok predajov × stĺpec cien.
  1. 1 000 · 10 + 600 · 15 + 300 · 25 = 10 000 + 9 000 + 7 500
26 500 €.
Príklad 15Stredný⚽ lopty
Náklady na x lôpt: N(x) = 0,01x² + 8x + 200 €. Koľko stojí 51. lopta (rozdiel N(51) − N(50))?
💡 Hraničné náklady = cena ďalšieho kusu.
  1. N(50) = 25 + 400 + 200 = 625 €
  2. N(51) = 26,01 + 408 + 200 = 634,01 €
  3. rozdiel 9,01 € (deriváciou: N′(50) = 0,02 · 50 + 8 = 9 €)
≈ 9 €.
Príklad 16Náročný🧢 rozhodnutie
Šiltovka sa predáva za 20 €. Náklady N(x) = 0,01x² + 8x + 400. Koľko kusov vyrobiť pre najväčší zisk a aký bude?
💡 Z = P − N, potom vrchol paraboly.
  1. Z(x) = 20x − 0,01x² − 8x − 400 = −0,01x² + 12x − 400
  2. x = −12 : (−0,02) = 600
  3. Z(600) = −3 600 + 7 200 − 400 = 3 200 €
600 šiltoviek, zisk 3 200 €.

Záverečný test

20 otázok, každá za 1 bod. Časť A: rozhodni, či je výrok pravdivý. Časť B: vyber jednu správnu odpoveď. Po vyhodnotení sa zobrazí vysvetlenie.

Po zvolení odpovede hneď uvidíš, či je správna, aj vysvetlenie. Odpoveď sa potom už nedá zmeniť.