120:00
PREDNÁŠKA · MATEMATIKA 7 · 2 BLOKY

Vlastná a nevlastná limita funkcie jednej reálnej premennej

Blok 1: pojem limity, vlastná a nevlastná limita, operácie s limitami · Blok 2: konjugovaný výraz, algebraické úpravy, racionálne funkcie, limity so sínusom · VSTE

⏱ 2 × 120 min📐 riešené príklady z prezentácie✏️ 57 cvičení (ľahké → náročné)📝 Test 10 otázok — jedno hodnotenie📧 Odoslanie testu v PDF🎓 Klasifikácia A–FX

Plán prednášky

Blok 1 / 2Vlastná a nevlastná limita — pojmy a pravidlá⏱ 120 min
1Pojem limity funkcie15 min⌄
  • okolie bodu, x → a, x → ±∞
2Vlastná a nevlastná limita, vlastný a nevlastný bod20 min⌄
  • definícia ε–δ, grafická interpretácia
3Neurčité výrazy a základné limity15 min⌄
  • 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞; pravidlá počítania s ∞
4Operácie s limitami40 min⌄
  • súčet, rozdiel, súčin, podiel, násobenie konštantou — riešené príklady z prezentácie
5Cvičenia + test (časť 1)30 min⌄
  • 40 cvičení od ľahkých po náročné, otázky 1 – 5
Blok 2 / 2Výpočet limít — úprava neurčitých výrazov⏱ 120 min
1Limita zloženej funkcie10 min⌄
  • dosadenie, spojitosť
2Konjugovaný výraz30 min⌄
  • odstránenie odmocniny, typ 0/0
3Algebraické úpravy a racionálne funkcie30 min⌄
  • rozklad na súčin, krátenie, delenie najvyššou mocninou
4Limity s funkciou sínus10 min⌄
  • lim sin x / x = 1
5Cvičenia + test (časť 2) + odoslanie v PDF40 min⌄
  • 17 cvičení, otázky 6 – 10, jedno hodnotenie A–FX
🎯 Blok 1Študent rozlíši vlastnú a nevlastnú limitu, vlastný a nevlastný bod, rozpozná neurčitý výraz a vie počítať limity súčtu, rozdielu, súčinu a podielu.
🎯 Blok 2Študent vie odstrániť neurčitý výraz konjugovaným výrazom, rozkladom na súčin a delením najvyššou mocninou; pozná limitu sin x / x.

Klasifikácia

ZnámkaPercentoSlovné hodnotenie
A90 – 100 %Výborne
B80 – 89 %Veľmi dobre
C70 – 79 %Dobre
D60 – 69 %Uspokojivo
E50 – 59 %Dostatočne
FX0 – 49 %Nedostatočne
Blok 1 / 2Výpočet lineárnej a kvadratickej rovnice⏱ 120 min

A. Lineárna rovnica

1. Čo je lineárna rovnica

Lineárna rovnica
Rovnica, v ktorej sa neznáma x vyskytuje len v prvej mocnine (žiadne x², žiadne x v menovateli). Má tvar ax + b = cx + d. Po úprave dostaneme x = číslo — rovnica má jedno riešenie.

Vzorce na zapamätanie:

TypVzorecRiešenie / význam
Lineárna rovnicaax + b = 0koreň x = −b / a
Kvadratická rovnicaax² + bx + c = 0korene x1,2 = (−b ± √D) / (2a)
DiskriminantD = b² − 4acurčuje počet reálnych koreňov
Blok 1 / 2Vlastná a nevlastná limita — pojmy a pravidlá⏱ 120 min

1. Čo je limita funkcie

Limita funkcie vyjadruje, k akej hodnote sa funkcia približuje, keď sa jej argument (premenná) blíži k určitému bodu. Označujeme limx→a f(x), kde x je premenná, a je bod, ku ktorému sa x blíži, a f(x) je funkcia.
PojemZápisVýznam
Vlastná limitalimx→a f(x) = L,  L ∈ ℝlimita je konečné reálne číslo — hodnoty funkcie sa v okolí bodu a približujú k L
Nevlastná limitalimx→a f(x) = +∞ alebo −∞funkcia rastie alebo klesá bez obmedzenia (diverguje)
Limita vo vlastnom bodex → a,  a ∈ ℝx sa blíži ku konkrétnemu číslu
Limita v nevlastnom bodex → +∞ alebo x → −∞x neobmedzene rastie alebo klesá
Jednostranná limitalimx→a+ f(x),  limx→a− f(x)x sa blíži k a len sprava (x > a) alebo len zľava (x < a)

Formálne definície

Vlastná limita (ε – δ definícia): limx→a f(x) = L, ak pre každé ε > 0 existuje δ > 0 také, že pre všetky x platí:
0 < |x − a| < δ  ⇒  |f(x) − L| < εFunkcia sa dá „priblížiť“ k L ľubovoľne presne, ak sa x dostatočne priblíži k a.
Nevlastná limita: limx→a f(x) = +∞ znamená: pre každé M > 0 existuje δ > 0 také, že pre všetky x platí 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) > M.
Podobne limx→a f(x) = −∞: pre každé M < 0 existuje δ > 0 také, že 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) < M.

Vlastná limita: limx→3 (2x + 1) = 7

f(x) = 2x + 1; dosadíme: 2 · 3 + 1 = 7 → výsledok je reálne číslo → vlastná limita.

Nevlastná limita: limx→0+ 1x = +∞

Pre x → 0+ hodnoty 1/x neobmedzene rastú (1/0,1 = 10, 1/0,01 = 100, …) → nevlastná limita. Zľava: limx→0− 1/x = −∞.

2. Rozdiel medzi nevlastnou limitou a neurčitosťou

Nevlastná limitaNeurčitý výraz
Čo to jevýsledok limitného procesu, keď funkcia divergujeforma výrazu po dosadení, z ktorej nie je jasné, aký je výsledok
Príkladlimx→0+ 1x = +∞00,  ∞∞,  ∞ − ∞,  0 · ∞,  1∞,  00,  ∞0
Čo s týmje to konečná odpoveďmusíme ju odstrániť — algebraickou úpravou (rozklad, krátenie, konjugovaný výraz, delenie najvyššou mocninou), l'Hospitalovým pravidlom, substitúciou
⚠ číslo ≠ 00 nie je neurčitý výraz — vedie k nevlastnej limite (±∞) alebo jednostranné limity sú rôzne. Neurčitý je iba 00.

3. Základné limity

Limitný výrazVýsledokPodmienky / poznámky
limx→a cca, c ∈ ℝ
limx→a xaa ∈ ℝ
limx→±∞ 1x0
limx→∞ 1xn0n ∈ ℕ (aj kxn → 0, k ∈ ℝ)
limx→0 sin xx1z toho limx→0 sin(kx)kx = 1
limx→0 1 − cos xx212
limx→0 ln(1 + x)x1
limx→0 ex − 1x1
limx→0 tg xx1
limx→∞ (1 + 1x)xee ≈ 2,718
limn→∞ (1 + an)nea
limx→0 (1 + x)1/xe

4. Lineárne vlastnosti limít (pravidlá)

Ak existujú vlastné limity limx→x0 f(x) = A a limx→x0 g(x) = B, potom platí:

OperáciaPravidlo
Sčítanielimx→x0 [f(x) + g(x)] = A + B
Odčítanielimx→x0 [f(x) − g(x)] = A − B
Násobenielimx→x0 [f(x) · g(x)] = A · B
Podiel (B ≠ 0)limx→x0 f(x)g(x) = AB
Násobenie konštantou climx→x0 [c · f(x)] = c · A
Zložená funkciaak limx→x0 f(x) = A a g je spojitá v bode A, potom limx→x0 g(f(x)) = g(A)
💡 Pri spojitých funkciách (mnohočleny, sin, cos, ex, ln x v kladných bodoch …) vypočítame limitu vo vlastnom bode jednoducho dosadením. Až keď dosadenie vedie k neurčitému výrazu, treba výraz upraviť.
Blok 1 / 2Vlastná a nevlastná limita — pojmy a pravidlá⏱ 120 min

5. Sčítanie limít

limx→a [f(x) + g(x)] = limx→a f(x) + limx→a g(x)
Príklad 1sčítanie
limx→2 [(x + 3) + (2x − 1)]
Riešenie:
  • limx→2 (x + 3) = 2 + 3 = 5
  • limx→2 (2x − 1) = 2 · 2 − 1 = 3
  • súčet: 5 + 3 = 8
Výsledok: 8
Príklad 2sčítanie
limx→0 (sin x + x2)
Riešenie:
  • limx→0 sin x = 0
  • limx→0 x2 = 0
  • súčet: 0 + 0 = 0
Výsledok: 0
Príklad 3sčítanie
limx→1 (x + ln x)
Riešenie:
  • limx→1 x = 1
  • limx→1 ln x = ln 1 = 0
  • súčet: 1 + 0 = 1
Výsledok: 1
Príklad 4sčítanie
limx→−1 [(x2 + 1) + (x + 2)]
Riešenie:
  • limx→−1 (x2 + 1) = (−1)2 + 1 = 2
  • limx→−1 (x + 2) = −1 + 2 = 1
  • súčet: 2 + 1 = 3
Výsledok: 3
Príklad 5sčítanie
limx→5 (1x + 2x + 1)
Riešenie:
  • limx→5 1x = 15
  • limx→5 2x + 1 = 26 = 13
  • súčet: 15 + 13 = 3 + 515 = 815
Výsledok: 815
Príklad 6sčítanie — známe limity
limx→0 (sin xx + 1 − cos xx2)
Riešenie (priamym dosadením by vyšlo 0/0 — preto použijeme známe limity):
  • známe limity: limx→0 sin xx = 1,  limx→0 1 − cos xx2 = 12
  • súčet: 1 + 12 = 32
Výsledok: 32

6. Odčítanie limít

limx→a [f(x) − g(x)] = limx→a f(x) − limx→a g(x)
Príklad 7odčítanie
limx→3 [(x2 − 4x) − (x − 1)]
Riešenie:
  • x2 − 4x = 9 − 12 = −3
  • x − 1 = 3 − 1 = 2
  • rozdiel: −3 − 2 = −5
Výsledok: −5
Príklad 8odčítanie
limx→0 (cos x − 1)
Riešenie:
  • cos 0 = 1
  • rozdiel: 1 − 1 = 0
Výsledok: 0
Príklad 9odčítanie — spoločný menovateľ
limx→2 (x + 1x − 2 − 3x − 2)
Riešenie:
  • dosadením by vznikol výraz ∞ − ∞ → najprv zjednotíme na spoločný menovateľ x − 2
  • x + 1 − 3x − 2 = x − 2x − 2 = 1 pre x ≠ 2
  • limx→2 1 = 1
Výsledok: 1
Príklad 10odčítanie
limx→1 (ln x − x)
Riešenie:
  • ln 1 = 0,  x = 1
  • rozdiel: 0 − 1 = −1
Výsledok: −1
Príklad 11odčítanie
limx→−2 [(x3 + 2x) − (x2 − 1)]
Riešenie:
  • x3 + 2x = (−8) + (−4) = −12
  • x2 − 1 = 4 − 1 = 3
  • rozdiel: −12 − 3 = −15
Výsledok: −15

7. Násobenie limít

limx→a [f(x) · g(x)] = limx→a f(x) · limx→a g(x) = A · B
Príklad 12súčin
limx→3 [(x + 1) · (x − 2)]
Riešenie:
  • limx→3 (x + 1) = 4,  limx→3 (x − 2) = 1
  • súčin: 4 · 1 = 4
Výsledok: 4
Príklad 13súčin
limx→1 (x + 2)(x − 3)
Riešenie:
  • x + 2 = 3,  x − 3 = −2
  • súčin: 3 · (−2) = −6
Výsledok: −6
Príklad 14súčin
limx→0 x · sin x
Riešenie:
  • x → 0,  sin x → 0
  • súčin: 0 · 0 = 0
Výsledok: 0
Príklad 15súčin
limx→2 √x · ln x
Riešenie:
  • √2 ≈ 1,414,  ln 2 ≈ 0,693
  • súčin: √2 · ln 2 ≈ 1,414 · 0,693 ≈ 0,980
Výsledok: √2 · ln 2 ≈ 0,980
Príklad 16súčin
limx→3 (x2 − 9)(x + 1)
Riešenie:
  • x2 − 9 = 9 − 9 = 0,  x + 1 = 4
  • súčin: 0 · 4 = 0
Výsledok: 0
Príklad 17súčin
limx→1 1x · (x2 + x)
Riešenie:
  • 1x = 1,  x2 + x = 1 + 1 = 2
  • súčin: 1 · 2 = 2
Výsledok: 2
Príklad 18súčin — známe limity
limx→0 (sin(3x)x · ln(1 + x))
Riešenie:
  • rozdelíme na súčin: limx→0 sin(3x)x · limx→0 ln(1 + x)
  • prvá limita: limx→0 sin(3x)x = limx→0 (sin(3x)3x · 3) = 1 · 3 = 3
  • druhá limita: limx→0 ln(1 + x) = ln 1 = 0
  • výsledok: 3 · 0 = 0
Výsledok: 0
💡 Príklad vyzerá ako neurčitosť typu ∞ · 0, ale v skutočnosti má konečnú limitu — vyžaduje znalosť limít sin x / x = 1 a ln(1 + x) → 0.
Príklad 19súčin — známe limity
limx→0 (ln(1 + x)x · sin xx)
Riešenie:
  • známe limity: limx→0 ln(1 + x)x = 1,  limx→0 sin xx = 1
  • výsledok: 1 · 1 = 1
Výsledok: 1

8. Podiel limít

ak limx→a f(x) = A,  limx→a g(x) = B,  B ≠ 0, potom limx→a f(x)g(x) = AB
Príklad 20podiel — rozklad
limx→1 x2 − 1x − 1
Riešenie:
  • rozpoznáme neurčitosť 00
  • rozložíme čitateľ: x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)
  • skrátime: (x − 1)(x + 1)x − 1 = x + 1
  • limita: limx→1 (x + 1) = 2
Výsledok: 2
Príklad 21podiel — známa limita
limx→0 sin xx
Riešenie:
  • známa limita: 1 — táto limita je základná v diferenciálnom počte
Výsledok: 1
Príklad 22podiel — l'Hospitalovo pravidlo
limx→1 ln xx − 1
Riešenie:
  • ln 1 = 0, x − 1 = 0 → neurčitosť 00
  • l'Hospitalovo pravidlo: zderivujeme čitateľ aj menovateľ: (ln x)′ = 1x, (x − 1)′ = 1
  • limita: limx→1 1/x1 = 1
Výsledok: 1
Príklad 23podiel — známa limita
limx→0 1 − cos xx2
Riešenie:
  • typ 00: cos 0 = 1 ⇒ 1 − cos x → 0 a x2 → 0
  • štandardná limita, ktorú si treba zapamätať: limx→0 1 − cos xx2 = 12
  • používa sa často pri výpočtoch derivácií trigonometrických funkcií
Výsledok: 12

9. Násobenie limity konštantou

ak limx→a f(x) = L a c je konštanta, potom limx→a [c · f(x)] = c · L
Príklad 24konštanta
limx→0 5 · sin x
Riešenie:
  • limx→0 sin x = 0
  • výsledok: 5 · 0 = 0
Výsledok: 0
Príklad 25konštanta
limx→1 3 · (x2 + 1)
Riešenie:
  • x2 + 1 = 1 + 1 = 2
  • výsledok: 3 · 2 = 6
Výsledok: 6
Príklad 26konštanta
limx→2 (−4) · ln x
Riešenie:
  • ln 2 ≈ 0,693
  • výsledok: −4 · 0,693 ≈ −2,772
Výsledok: −4 ln 2 ≈ −2,772
Príklad 27konštanta
limx→0 12 · 1 − cos xx2
Riešenie:
  • známa limita: 1 − cos xx2 → 12
  • výsledok: 12 · 12 = 14
Výsledok: 14
Príklad 28konštanta
limx→0 7 · ln(1 + x)x
Riešenie:
  • známa limita: ln(1 + x)x → 1
  • výsledok: 7 · 1 = 7
Výsledok: 7
Blok 1 / 2Vlastná a nevlastná limita — pojmy a pravidlá⏱ 120 min

Cvičenia — operácie s limitami

Najprv riešte sami, potom odkryte postup.

➕ Sčítanie limít
Cvičenie 1Ľahký
Vypočítajte limx→1 [(x + 2) + (3x − 1)].
💡 Najprv si uvedomte: Mnohočlen je spojitý — stačí dosadiť.
Postup:
  1. (1 + 2) + (3 · 1 − 1) = 3 + 2
Výsledok: 5
Cvičenie 2Ľahký
Vypočítajte limx→0 (sin x + x2).
💡 Najprv si uvedomte: Dosadíme x = 0 do každého člena.
Postup:
  1. sin 0 = 0,  02 = 0
Výsledok: 0
Cvičenie 3Ľahký
Vypočítajte limx→2 (x2 + 4x).
💡 Najprv si uvedomte: Dosadenie.
Postup:
  1. 4 + 8
Výsledok: 12
Cvičenie 4Ľahký
Vypočítajte limx→−1 [(x2 + 1) + (x + 2)].
💡 Najprv si uvedomte: Pozor na (−1)2 = 1.
Postup:
  1. (1 + 1) + (−1 + 2) = 2 + 1
Výsledok: 3
Cvičenie 5Stredný
Vypočítajte limx→3 (1x + 2x + 1).
💡 Najprv si uvedomte: Menovatele sú v bode 3 nenulové.
Postup:
  1. 13 + 24 = 13 + 12 = 2 + 36
Výsledok: 56
Cvičenie 6Ľahký
Vypočítajte limx→1 (ln x + x2).
💡 Najprv si uvedomte: ln 1 = 0.
Postup:
  1. 0 + 1
Výsledok: 1
Cvičenie 7Stredný
Vypočítajte limx→4 (√x + 1x).
💡 Najprv si uvedomte: √4 = 2.
Postup:
  1. 2 + 14
Výsledok: 94
Cvičenie 8Ľahký
Vypočítajte limx→0 (tg x + x).
💡 Najprv si uvedomte: tg 0 = 0.
Postup:
  1. 0 + 0
Výsledok: 0
Cvičenie 9Stredný
Vypočítajte limx→1 (ex + ln x).
💡 Najprv si uvedomte: e1 = e, ln 1 = 0.
Postup:
  1. e + 0
Výsledok: e
Cvičenie 10Náročný
Vypočítajte limx→2 (x2 − 1x − 1 + x − 2x).
💡 Najprv si uvedomte: V bode 2 nie je žiadny menovateľ nulový — dosadíme.
Postup:
  1. 4 − 11 + 02 = 3 + 0
Výsledok: 3
➖ Odčítanie limít
Cvičenie 11Ľahký
Vypočítajte limx→2 [(x2 − 4x) − (x − 1)].
💡 Najprv si uvedomte: Dosadenie.
Postup:
  1. (4 − 8) − (2 − 1) = −4 − 1
Výsledok: −5
Cvičenie 12Ľahký
Vypočítajte limx→0 (cos x − 1).
💡 Najprv si uvedomte: cos 0 = 1.
Postup:
  1. 1 − 1
Výsledok: 0
Cvičenie 13Ľahký
Vypočítajte limx→1 (ln x − x).
💡 Najprv si uvedomte: ln 1 = 0.
Postup:
  1. 0 − 1
Výsledok: −1
Cvičenie 14Ľahký
Vypočítajte limx→−2 [(x3 + 2x) − (x2 − 1)].
💡 Najprv si uvedomte: (−2)3 = −8.
Postup:
  1. (−8 − 4) − (4 − 1) = −12 − 3
Výsledok: −15
Cvičenie 15Stredný
Vypočítajte limx→3 (x + 1x − 2 − 3x − 2).
💡 Najprv si uvedomte: V bode 3 je menovateľ 1.
Postup:
  1. 4 − 31
Výsledok: 1
Cvičenie 16Náročný
Vypočítajte limx→1 (x2 − 1x − 1 − (x + 1)).
💡 Najprv si uvedomte: Prvý zlomok dáva 00 — najprv rozložiť.
Postup:
  1. (x − 1)(x + 1)x − 1 = x + 1
  2. (x + 1) − (x + 1) = 0
Výsledok: 0
Cvičenie 17Stredný
Vypočítajte limx→0 (sin xx − 1).
💡 Najprv si uvedomte: Známa limita sin x / x → 1.
Postup:
  1. 1 − 1
Výsledok: 0
Cvičenie 18Ľahký
Vypočítajte limx→1 (1x − x).
💡 Najprv si uvedomte: Dosadenie.
Postup:
  1. 1 − 1
Výsledok: 0
Cvičenie 19Stredný
Vypočítajte limx→2 (√x + 2 − √2x).
💡 Najprv si uvedomte: Dosadenie.
Postup:
  1. √4 − √4 = 2 − 2
Výsledok: 0
Cvičenie 20Náročný
Vypočítajte limx→0 (1 − cos xx2 − 12).
💡 Najprv si uvedomte: Známa limita (1 − cos x)/x2 → 12.
Postup:
  1. 12 − 12
Výsledok: 0
✖ Násobenie limít
Cvičenie 21Ľahký
Vypočítajte limx→1 (x + 2)(x − 3).
💡 Najprv si uvedomte: Každú časť vypočítame zvlášť.
Postup:
  1. x + 2 = 3,  x − 3 = −2
  2. 3 · (−2)
Výsledok: −6
Cvičenie 22Ľahký
Vypočítajte limx→0 x · sin x.
💡 Najprv si uvedomte: x → 0 aj sin x → 0.
Postup:
  1. 0 · 0
Výsledok: 0
Cvičenie 23Stredný
Vypočítajte limx→2 √x · ln x.
💡 Najprv si uvedomte: Výsledok môžeme nechať presne alebo zaokrúhliť.
Postup:
  1. √2 ≈ 1,414,  ln 2 ≈ 0,693
  2. 1,414 · 0,693
Výsledok: √2 · ln 2 ≈ 0,980
Cvičenie 24Ľahký
Vypočítajte limx→3 (x2 − 9)(x + 1).
💡 Najprv si uvedomte: Jeden činiteľ je 0.
Postup:
  1. x2 − 9 = 0,  x + 1 = 4
  2. 0 · 4
Výsledok: 0
Cvičenie 25Ľahký
Vypočítajte limx→1 1x · (x2 + x).
💡 Najprv si uvedomte: Dosadenie.
Postup:
  1. 11 = 1,  1 + 1 = 2
  2. 1 · 2
Výsledok: 2
Cvičenie 26Ľahký
Vypočítajte limx→0 ex · x.
💡 Najprv si uvedomte: e0 = 1.
Postup:
  1. 1 · 0
Výsledok: 0
Cvičenie 27Stredný
Vypočítajte limx→1 ln x · (x − 1).
💡 Najprv si uvedomte: ln 1 = 0 a x − 1 = 0.
Postup:
  1. 0 · 0
Výsledok: 0
Cvičenie 28Ľahký
Vypočítajte limx→2 (x − 2)(x2 + 1).
💡 Najprv si uvedomte: Dosadenie.
Postup:
  1. 0 · 5
Výsledok: 0
Cvičenie 29Náročný
Vypočítajte limx→0 (sin xx · ln(1 + x)).
💡 Najprv si uvedomte: Známe limity: sin x / x → 1, ln(1 + x) → 0.
Postup:
  1. 1 · 0
Výsledok: 0
Cvičenie 30Náročný
Vypočítajte limx→0 (1 − cos xx2 · ex).
💡 Najprv si uvedomte: Známe limity: (1 − cos x)/x2 → 12, ex → 1.
Postup:
  1. 12 · 1
Výsledok: 12
➗ Podiel limít
Cvičenie 31Stredný
Vypočítajte limx→1 x2 − 1x − 1.
💡 Najprv si uvedomte: Neurčitosť 00 → rozklad.
Postup:
  1. x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)
  2. skrátime: limx→1 (x + 1) = 1 + 1
Výsledok: 2
Cvičenie 32Ľahký
Vypočítajte limx→0 sin xx.
💡 Najprv si uvedomte: Známa limita.
Postup:
  1. základná limita
Výsledok: 1
Cvičenie 33Náročný
Vypočítajte limx→2 x2 + 4x − 2.
💡 Najprv si uvedomte: Čitateľ → 8, menovateľ → 0: typ 80 — nie je to neurčitosť, rozhodujú jednostranné limity.
Postup:
  1. x → 2+: menovateľ > 0 → limx→2+ = +∞
  2. x → 2−: menovateľ < 0 → limx→2− = −∞
  3. jednostranné limity sú rôzne → obojstranná limita neexistuje
Výsledok: sprava +∞, zľava −∞; limita v bode 2 neexistuje
Cvičenie 34Stredný
Vypočítajte limx→1 ln xx − 1.
💡 Najprv si uvedomte: Neurčitosť 00 → l'Hospitalovo pravidlo.
Postup:
  1. derivácie: 1/x1
  2. x = 1: 1/1
Výsledok: 1
Cvičenie 35Ľahký
Vypočítajte limx→0 1 − cos xx2.
💡 Najprv si uvedomte: Známa limita.
Postup:
  1. štandardná limita
Výsledok: 12
Cvičenie 36Ľahký
Vypočítajte limx→0 tg xx.
💡 Najprv si uvedomte: Známa limita.
Postup:
  1. tg x = sin xcos x → sin xx · 1cos x → 1 · 1
Výsledok: 1
Cvičenie 37Stredný
Vypočítajte limx→1 x3 − 1x − 1.
💡 Najprv si uvedomte: Vzorec a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2).
Postup:
  1. x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)
  2. skrátime: limx→1 (x2 + x + 1) = 1 + 1 + 1
Výsledok: 3
Cvičenie 38Ľahký
Vypočítajte limx→0 ex − 1x.
💡 Najprv si uvedomte: Známa limita.
Postup:
  1. štandardná limita
Výsledok: 1
Cvičenie 39Náročný
Vypočítajte limx→0 tg x − xx3.
💡 Najprv si uvedomte: Náročné — Taylorov rozvoj tg x = x + x3/3 + …
Postup:
  1. tg x − x ≈ x33
  2. x3/3x3 = 13
Výsledok: 13
Cvičenie 40Náročný
Vypočítajte limx→0 ln(1 + sin x)x.
💡 Najprv si uvedomte: Náročné — pre malé x: sin x ≈ x a ln(1 + u) ≈ u.
Postup:
  1. ln(1 + sin x)sin x · sin xx → 1 · 1
Výsledok: 1
Blok 2 / 2Výpočet limít — úprava neurčitých výrazov⏱ 120 min

1. Zložená funkcia

Zložená funkcia vznikne, keď do jednej funkcie dosadíme inú funkciu. Označuje sa (f ∘ g)(x) = f(g(x)). Ak limx→a g(x) = A a f je spojitá v bode A, platí limx→a f(g(x)) = f(A).
PríkladDefinícia zloženiaVýpočet pre konkrétne xVýsledok
f(x) = √x, g(x) = x2 + 1f(g(x)) = √x2 + 1pre x = 2: √22 + 1 = √5√5
f(x) = ln x, g(x) = 3x + 2f(g(x)) = ln(3x + 2)pre x = 1: ln(3 · 1 + 2) = ln 5ln 5
f(x) = sin x, g(x) = 1xf(g(x)) = sin(1x)pre x = 2: sin(12)sin(12)
f(x) = ex, g(x) = x2 − 4xf(g(x)) = ex² − 4xpre x = 3: e9 − 12 = e−3e−3
f(x) = 1x, g(x) = cos xf(g(x)) = 1cos xpre x = π3: 1cos(π/3) = 11/2 = 22

2. Úprava pomocou násobenia konjugovaným výrazom

Ak by sme do limx→0 x√1 + 3x − 1 dosadili x = 0, dostaneme neurčitý výraz 00. Použijeme trik: čitateľ aj menovateľ vynásobíme konjugovaným (združeným) výrazom menovateľa — pri √A − 1 je to √A + 1 (meníme znamienko z −1 na +1). Využijeme vzorec (a − b)(a + b) = a2 − b2, ktorý odstráni odmocninu.
Príklad 1konjugovaný výraz
limx→0 x√1 + 3x − 1
Riešenie:
  • Krok 1 — dosadenie: čitateľ x = 0; menovateľ √1 + 3 · 0 − 1 = √1 − 1 = 0 → výraz má tvar neurčitosti 00
  • Krok 2 — násobenie konjugovaným výrazom: x√1 + 3x − 1 · √1 + 3x + 1√1 + 3x + 1
  • Krok 3 — vzorec (a − b)(a + b) = a2 − b2: menovateľ sa zmení: (√1 + 3x − 1)(√1 + 3x + 1) = (1 + 3x) − 1 = 3x; celý výraz: x(√1 + 3x + 1)3x
  • Krok 4 — skrátime x: = √1 + 3x + 13
  • Krok 5 — vypočítame limitu (dosadíme x = 0): √1 + 0 + 13 = 1 + 13 = 23
Výsledok: 23
Príklad 2konjugovaný výraz
limx→0 x√1 + 4x − 1
Riešenie:
  • priame dosadenie: 0√1 + 0 − 1 = 00 → neurčitý tvar, musíme upraviť
  • racionalizácia menovateľa: x√1 + 4x − 1 · √1 + 4x + 1√1 + 4x + 1 = x(√1 + 4x + 1)(1 + 4x) − 1 = x(√1 + 4x + 1)4x = √1 + 4x + 14
  • dosadenie do upraveného tvaru: √1 + 0 + 14 = 24 = 12
Výsledok: 12
Príklad 3konjugovaný výraz
limx→0 x√1 + 5x − 1
Riešenie:
  • priame dosadenie: 00 → neurčitý tvar
  • racionalizácia menovateľa: x(√1 + 5x + 1)(1 + 5x) − 1 = x(√1 + 5x + 1)5x = √1 + 5x + 15
  • dosadenie: 1 + 15 = 25
Výsledok: 25
Príklad 4konjugovaný výraz v čitateli
limx→0 √1 + 6x − 1x
Riešenie:
  • priame dosadenie: √1 + 0 − 10 = 00 → neurčitý tvar
  • racionalizácia čitateľa: √1 + 6x − 1x · √1 + 6x + 1√1 + 6x + 1 = (1 + 6x) − 1x(√1 + 6x + 1) = 6xx(√1 + 6x + 1) = 6√1 + 6x + 1
  • dosadenie: 61 + 1 = 3
Výsledok: 3
Príklad 5rozdiel dvoch odmocnín
limx→0 √1 + 2x − √1 + xx
Riešenie:
  • priame dosadenie: √1 − √10 = 00 → neurčité
  • racionalizácia čitateľa (konjugát √1 + 2x + √1 + x): (1 + 2x) − (1 + x)x(√1 + 2x + √1 + x) = xx(√1 + 2x + √1 + x) = 1√1 + 2x + √1 + x
  • dosadenie: 11 + 1 = 12
Výsledok: 12
Blok 2 / 2Výpočet limít — úprava neurčitých výrazov⏱ 120 min

3. Výpočet limity algebraického výrazu

TypPostupPríklad
1. Limita v nevlastnom bode (x → ±∞)stačí určiť limitu podielu členov s najvyššou mocninou v čitateli a menovateli — čitateľa aj menovateľa vydelíme najvyššou mocninou x z menovateľalimx→∞ 3x2 − 5x + 1x2 + 2x − 4
2. Limita vo vlastnom bode s neurčitým výrazom (x → a)dosadenie x = a vedie k 00; výraz upravíme — rozkladom na súčin, krátením alebo l'Hospitalovým pravidlomlimx→2 x2 − 4x − 2
Príklad 6vlastný bod, neurčitosť 0/0
limx→2 x2 − 4x − 2
Riešenie:
  • 1. Overenie typu limity (dosadenie): 4 − 42 − 2 = 00 → neurčitý výraz, musíme ho algebraicky upraviť
  • 2. Algebraická úprava (rozklad čitateľa): vzorec a2 − b2 = (a − b)(a + b): x2 − 4 = x2 − 22 = (x − 2)(x + 2)
  • 3. Prepísanie a krátenie: limx→2 (x − 2)(x + 2)x − 2 = limx→2 (x + 2) — člen (x − 2) môžeme krátiť, pretože pri limite x → 2 sa x nikdy presne nerovná 2, a teda x − 2 ≠ 0
  • 4. Výpočet limity (dosadenie): 2 + 2 = 4
Výsledok: 4

4. Limita racionálnej funkcie v nevlastnom bode

V prípade racionálnej funkcie v nevlastnom bode (∞ alebo −∞) delíme čitateľa aj menovateľa najvyššou mocninou x, ktorá sa vyskytuje v menovateli. Potom využijeme pravidlo: ak x → ∞, potom kxn → 0 pre akékoľvek k ∈ ℝ a n > 0.
Stupeň čitateľa (m) a menovateľa (n)limx→±∞ amxm + …bnxn + …Typ limity
m = nambn — podiel koeficientov pri najvyšších mocnináchvlastná
m < n0vlastná
m > n+∞ alebo −∞ (podľa znamienok)nevlastná
Príklad 7m = n = 2
limx→∞ 3x2 − 5x + 1x2 + 2x − 4
Riešenie:
  • 1. Overenie typu limity (dosadenie): 3(∞)2 − 5(∞) + 1(∞)2 + 2(∞) − 4 → ∞∞ — neurčitý výraz
  • 2. Algebraická úprava — delenie najvyššou mocninou v menovateli, t. j. x2: limx→∞ 3x2/x2 − 5x/x2 + 1/x2x2/x2 + 2x/x2 − 4/x2
  • 3. Zjednodušenie výrazu (krátenie): = limx→∞ 3 − 5/x + 1/x21 + 2/x − 4/x2
  • 4. Výpočet limity: kxn → 0 ⇒ 3 − 0 + 01 + 0 − 0 = 31 = 3
Výsledok: 3
📌 Pravidlo: ak sa najvyššia mocnina x v čitateli rovná najvyššej mocnine v menovateli (tu x2), limita sa rovná podielu koeficientov pri týchto mocninách: 3/1 = 3.
Príklad 8m = n = 3
limx→∞ 4x3 − 2x2 + 73x3 + x − 5
Riešenie:
  • delíme x3: limx→∞ 4 − 2/x + 7/x33 + 1/x2 − 5/x3
  • = 4 − 0 + 03 + 0 − 0 = 43
Výsledok: 43
Príklad 9m = n = 4
limx→∞ 5x4 − 2x3 + x − 8−10x4 + 7x2 + 1
Riešenie:
  • delíme x4: limx→∞ 5 − 2/x + 1/x3 − 8/x4−10 + 7/x2 + 1/x4
  • = 5−10 = −12
Výsledok: −12
Príklad 10m = n = 2
limx→∞ 7x2 − 3x + 9−14x2 + 5x − 1
Riešenie:
  • delíme x2: limx→∞ 7 − 3/x + 9/x2−14 + 5/x − 1/x2
  • = 7−14 = −12
Výsledok: −12
Príklad 11m < n
limx→∞ 2x + 1x2 + 3
Riešenie:
  • delíme x2: 2/x + 1/x21 + 3/x2
  • = 0 + 01 + 0 = 0
Výsledok: 0 (vlastná limita)
Príklad 12m > n — nevlastná limita
limx→∞ x2 + 1x − 2
Riešenie:
  • delíme x (najvyššia mocnina v menovateli): x + 1/x1 − 2/x
  • čitateľ x + 1/x → ∞, menovateľ → 1
  • podiel neobmedzene rastie
Výsledok: +∞ (nevlastná limita)

5. Limity typu sin(ax) / sin(bx)

Táto limita skúma pomer dvoch sínusových funkcií, keď ich argumenty smerujú k nule. Dosadením x = 0 dostaneme 00. Použijeme známy limitný vzťah limx→0 sin(kx)kx = 1 pre každé k ∈ ℝ, k ≠ 0. Z toho vyplýva:
sin(kx)sin(mx) = sin(kx)kx · mxsin(mx) · km  ⇒  limx→0 sin(ax)sin(bx) = ab
Príklad 13vhodná jednotka
limx→0 sin 10xsin 5x
Riešenie:
  • dosadením x = 0 dostaneme neurčitý výraz 00
  • I. čitateľa aj menovateľa násobíme tzv. „vhodnou jednotkou“: sin 10xsin 5x = (sin 10x / 10x) · 10x(sin 5x / 5x) · 5x
  • II. s využitím limx→0 sin xx = 1 sa zlomky sin 10x10x a sin 5x5x blížia k 1
  • III. po úprave funkciu vykrátime členom x: 11 · 105 = 2
Výsledok: 2
Príklad 14vhodná jednotka
limx→0 sin 14xsin 7x
Riešenie:
  • sin 14xsin 7x = (sin 14x / 14x) · 14(sin 7x / 7x) · 7 → 1 · 141 · 7 = 2
Výsledok: 2
Príklad 15vhodná jednotka
limx→0 sin 12xsin 3x
Riešenie:
  • sin 12xsin 3x = (sin 12x / 12x) · 12(sin 3x / 3x) · 3 → 1 · 121 · 3 = 4
  • kľúčový fakt: vzorec vychádza z limitného pravidla limx→0 sin xx = 1
Výsledok: 4
Blok 2 / 2Výpočet limít — úprava neurčitých výrazov⏱ 120 min

Cvičenia — výpočet limít

Najprv riešte sami, potom odkryte postup.

Limity typu limx→0 x√1 + ax − 1 — konjugovaný výraz
Cvičenie 1Ľahký
Vypočítajte limx→0 x√1 + 2x − 1.
💡 Najprv si uvedomte: Násobíme konjugovaným výrazom √1 + 2x + 1.
Postup:
  1. menovateľ: (1 + 2x) − 1 = 2x
  2. skrátime: √1 + 2x + 12
  3. dosadíme: 1 + 12
Výsledok: 1
Cvičenie 2Ľahký
Vypočítajte limx→0 x√1 + 5x − 1.
💡 Najprv si uvedomte: Násobíme konjugovaným výrazom √1 + 5x + 1.
Postup:
  1. menovateľ: (1 + 5x) − 1 = 5x
  2. skrátime: √1 + 5x + 15
  3. dosadíme: 1 + 15
Výsledok: 25
Cvičenie 3Stredný
Vypočítajte limx→0 x√1 + 10x − 1.
💡 Najprv si uvedomte: Násobíme konjugovaným výrazom √1 + 10x + 1.
Postup:
  1. menovateľ: (1 + 10x) − 1 = 10x
  2. skrátime: √1 + 10x + 110
  3. dosadíme: 1 + 110
Výsledok: 15
Cvičenie 4Ľahký
Vypočítajte limx→0 x√1 + x − 1.
💡 Najprv si uvedomte: Násobíme konjugovaným výrazom √1 + x + 1.
Postup:
  1. menovateľ: (1 + x) − 1 = x
  2. skrátime: √1 + x + 1
  3. dosadíme x = 0: 1 + 1
Výsledok: 2
Cvičenie 5Stredný
Vypočítajte limx→0 x√1 + 3x − 1.
💡 Najprv si uvedomte: Násobíme konjugovaným výrazom √1 + 3x + 1.
Postup:
  1. menovateľ: (1 + 3x) − 1 = 3x
  2. skrátime: √1 + 3x + 13
  3. dosadíme: 1 + 13
Výsledok: 23
Cvičenie 6Stredný
Vypočítajte limx→0 x√1 + 6x − 1.
💡 Najprv si uvedomte: Násobíme konjugovaným výrazom √1 + 6x + 1.
Postup:
  1. menovateľ: (1 + 6x) − 1 = 6x
  2. skrátime: √1 + 6x + 16
  3. dosadíme: 1 + 16
Výsledok: 13
Cvičenie 7Stredný
Vypočítajte limx→0 x√1 + 4x − 1.
💡 Najprv si uvedomte: Násobíme konjugovaným výrazom √1 + 4x + 1.
Postup:
  1. menovateľ: (1 + 4x) − 1 = 4x
  2. skrátime: √1 + 4x + 14
  3. dosadíme: 1 + 14
Výsledok: 12
Cvičenie 8Stredný
Vypočítajte limx→0 x√1 + 8x − 1.
💡 Najprv si uvedomte: Násobíme konjugovaným výrazom √1 + 8x + 1.
Postup:
  1. menovateľ: (1 + 8x) − 1 = 8x
  2. skrátime: √1 + 8x + 18
  3. dosadíme: 1 + 18
Výsledok: 14
Cvičenie 9Náročný
Vypočítajte limx→0 x√1 + 0,5x − 1.
💡 Najprv si uvedomte: Násobíme konjugovaným výrazom √1 + 0,5x + 1.
Postup:
  1. menovateľ: (1 + 0,5x) − 1 = 0,5x
  2. skrátime: √1 + 0,5x + 10,5
  3. dosadíme: 1 + 10,5
Výsledok: 4
Cvičenie 10Náročný
Vypočítajte limx→0 x√1 − 2x − 1.
💡 Najprv si uvedomte: Konjugát √(1 − 2x) + 1; pozor na zápornú konštantu.
Postup:
  1. x√1 − 2x − 1 · √1 − 2x + 1√1 − 2x + 1
  2. menovateľ: (1 − 2x) − 1 = −2x
  3. skrátime x: √1 − 2x + 1−2
  4. dosadíme x = 0: 1 + 1−2
Výsledok: −1
Limita v nevlastnom bode — delenie najvyššou mocninou
Cvičenie 11Ľahký
Vypočítajte limx→∞ 3x2 − 5x + 1x2 + 2x − 4.
💡 Najprv si uvedomte: Najvyššia mocnina x2 v čitateli aj menovateli; koeficienty 3 a 1.
Postup:
  1. delíme x2: 3 − 5/x + 1/x21 + 2/x − 4/x2
  2. 3 − 0 + 01 + 0 − 0
Výsledok: 3
Cvičenie 12Ľahký
Vypočítajte limx→∞ 6x2 + 2x2x2 + 7.
💡 Najprv si uvedomte: Koeficienty pri x2 sú 6 a 2.
Postup:
  1. delíme x2: 6 + 2/x2 + 7/x2
  2. 6 + 02 + 0 = 62
Výsledok: 3
Cvičenie 13Stredný
Vypočítajte limx→∞ −10x2 + 10005x2 − 100.
💡 Najprv si uvedomte: Koeficienty pri x2 sú −10 a 5; veľké konštanty nič nemenia.
Postup:
  1. delíme x2: −10 + 1000/x25 − 100/x2
  2. −10 + 05 − 0 = −105
Výsledok: −2
Limita vo vlastnom bode s neurčitým výrazom 0/0
Cvičenie 14Ľahký
Vypočítajte limx→3 x2 − 9x − 3.
💡 Najprv si uvedomte: a2 − b2 = (a − b)(a + b).
Postup:
  1. overenie: 9 − 93 − 3 = 00
  2. (x − 3)(x + 3)x − 3 = x + 3
  3. 3 + 3
Výsledok: 6
Cvičenie 15Stredný
Vypočítajte limx→−1 x2 + 3x + 2x + 1.
💡 Najprv si uvedomte: Trojčlen x2 + 3x + 2 má korene −1 a −2.
Postup:
  1. overenie: 1 − 3 + 20 = 00
  2. (x + 1)(x + 2)x + 1 = x + 2
  3. −1 + 2
Výsledok: 1
Cvičenie 16Stredný
Vypočítajte limx→0 x3 − 5xx2 + x.
💡 Najprv si uvedomte: Vytkneme x v čitateli aj menovateli.
Postup:
  1. overenie: 00
  2. x(x2 − 5)x(x + 1) = x2 − 5x + 1
  3. 0 − 50 + 1
Výsledok: −5
Cvičenie 17Náročný
Vypočítajte limx→0 √x + 4 − 2x.
💡 Najprv si uvedomte: Združený výraz k čitateľu je √(x + 4) + 2.
Postup:
  1. overenie: √4 − 20 = 00
  2. (A − B)(A + B) = A2 − B2: (√x + 4)2 − 22 = x
  3. xx(√x + 4 + 2) = 1√x + 4 + 2
  4. 1√4 + 2 = 12 + 2
Výsledok: 14

Záverečný test

20 otázok, každá za 1 bod. Časť A: rozhodni, či je výrok pravdivý. Časť B: vyber jednu správnu odpoveď. Po vyhodnotení sa zobrazí vysvetlenie.

Po zvolení odpovede hneď uvidíš, či je správna, aj vysvetlenie. Odpoveď sa potom už nedá zmeniť.